Archimedes

Na Facebooku nedávno proběhla poměrně bouřlivá výměna názorů na téma, které máme na obrázku - tedy co se stane, když se váha odaretuje? Diskuse probíhala na mnoha frontách a názory a jejich vývoj byl zajímavý nejenom z matematicko-fyzikálního, ale také z psychologického hlediska.

Docházelo totiž jak k názorovým oscilacím a indukci myšlenek, tak také i k obratům o celých 180°. Krásný materiál na ročníkovou práci z oboru psychologie a lidské výkonnosti nebo i politologie (třeba to někdo využije).

Zadání

• rovnoramenné váhy
  
• váhy jsou zaaretované (zafixované v dané poloze)
  
• nádoby jsou stejně veliké a stejně těžké
  
• objem tekutiny je shodný
  
• koule mají shodný vnější objem
  
• vliv hmotnosti/objemu zavěšení pro zjednodušení neuvažujeme (závěs pouze přenáší sílu)
  
• vlevo je pingpongový míček připevněný ke dnu nádoby
  
• vpravo je ocelová koule visící na struně a to celé na "šibenici" mimo váhy
  
• koule se nedotýkají dna nádoby
  

Otázka:
co se stane, když váhy odaretujeme a dáme průběh působícím silám? Zůstanou vyváženy, nebo některá z misek klesne? A proč?

Jednoduché nebo složité?

Je to zdánlivě jednoduchá úloha, kterou by měl "dát" žák i základní školy - neb se to v té škole učí - ale jak tušíte, každý z nás smrtelníků je zatížen trochu jinou mírou představivosti a každému nabídne mozek hned několik "správných" řešení, nebo dokonce jen jedno "zaručeně správné" za které jsme ochotni se bít, dokud nás nenahlodá argument někoho jiného, a nepřinutí se na věc podívat ještě jednou, hlouběji a nechat naše kreativní myšlení otevřít i jiná vrátka, která již nejsou tak snadno dostupná, a trochu to i bolí když se mají otevřít a vydat své tajemství.

Pojďme se na to tedy podívat spolu a trochu si to rozebereme.

Je materiál koulí důležitý?

Podíváme-li se na obrázek soustavy, zjistíme, že materiál levé koule je volen co nejlehčí, aby koule vlastní vahou neklesla ke dnu. Je to tak správně, protože ta koule má "tahat za špagátek" a evokovat v nás dávnou vzpomínku s balónkem z pouti (která nás má zavést do slepé uličky). Naproti tomu koule vpravo je ocelová, tj. více než 7x těžší než voda, kterou vytěsňuje a je to jen proto, aby dobře a pevně visela na závěsu a neplavala na hladině. Jiný význam onen materiál pro účely tohoto experimentu opravdu nemá. Kdyby koule vlevo byla o trochu těžší, ale stále lehčí než voda kterou vytěsňuje a koule vpravo o něco lehčí, avšak stále těžší než ta voda kterou vytlačila, aby splnila podmínku dokonalého potopení, tak to na výsledku nic nezmění.

Zjednodušení

V běžné domácnosti zrovna nemáme rovnoramenné váhy jako v lékárně nebo u hokynáře. Budeme se muset spokojit s elektronickou váhou, která má jednu misku. Pro tento účel musíme náš experiment "říznout" na dvě části - levou a pravou a budeme je pak porovnávat proti sobě.

Toto jsou naše rekvizity: plovák - uzavřená krabička s červeným vrškem, nádoba s vodou a dobře padnoucím víčkem

Levá miska

Na misce vlevo je v našem zadání koule upoutána ke dnu. Má to budit dojem (a také budí), že ta koule tahá tu misku nahoru (jako horkovzdušný balón), aby byla lehčí. Je to ovšem jen zdání, které klame (přiznám se, také jsem se zprvu nechal oklamat).  

Pozn. ono totiž záleží na tom, v jakém prostředí se ta koule vznáší a o co je toto prostředí opřeno, tj. na čem spočívá.

Jak se tedy věci mají? Nejlépe si to můžeme osvětlit na případu, když si náš pokus ještě trochu zjednodušíme a dáme nádobě víko, vznikne tak uzavřený prostor. Pokud takovou nádobu naplníme až po okraj a ponecháme uvniř kouli volně plavat (bude úplně ponořena) a vztlak ji přitlačí ke stropu, tj. k víku nádoby.

A nyní se zamyslíme: Koule je zcela ponořena - stejně jako v původním případě. Působí tedy směrem vzhůru stejnou silou jako v původním případě, kdy byla upevněna ke dnu. Směr síly je stejný (vzhůru). 

A zeptáme se: "Bude takováto "konzerva" lehčí, pokud uvniř (a zevnitř) bude někdo/něco tlačit na její uzavřené víko?"

Odpověď zní: "Nebude". Bude vážit přesně tolik, co její jednotlivé složky, tj. obal, víko a obsah, tj. koule a voda.

Umístíme-li jednotlivé položky jen tak na sebe, či uzavřeme-li je dovnitř nádoby ... hmotnost celku bude stále stejná navzdory jakýmkoli silám, které tam uvnitř pod pokličkou jistě působí

Pro fyziky: namísto vody a plováku by tam klidně mohla být předepjatá pružina vytvářející sílu na dno a víko a výsledek by byl naprosto totožný.

Pozn. přetlak v takové nádobě se může navenek projevit tak maximálně vyboulením jejího dna - to známe u prošlých konzerv.

Z hlediska sil je to uzavřená silová soustava a vše se odehrává v rámci jejích hranic, tj. nádoba s víkem představují meze, kde to vše začíná i končí - žádná síla není odváděna mimo tento prostor.

Pravá miska

Podobně jako u případu vlevo tu máme tutéž nádobu, tutéž vodu, tutéž kouli (na materiálu nezáleží, důležitý je ponořený objem). Jen s tím rozdílem, že ta koule je upevněna mimo váhu. To nám tvoří otevřenou silovou soustavu, kde síla, která je odváděna do zavěšení mimo váhu (vztlaková síla) je v rovnováze s opačnou silou, kterou vztlak koule působí na nádobu - a tedy na misku vah.

Pro lepší představu si opět představíme naši konzervu. Je uzavřena, plná vody a je tam i koule (plovák), který se dere vzhůru proti směru tíže a snaží se nám víko nadzdvihnout. Je to ta konzerva, co ji máme na levé misce - vzpomínáte? Teď máme konzervy dvě, jednu vlevo, jednu vpravo.

Vlevo je miska uzavřená, vpravo je otevřená - hmotnost se nemění

Pokud víko u konzervy vpravo odšroubujeme (konzervu otevřeme otvírákem), víko by působením koule uvnitř nadskočilo. Podržíme jej tedy zvenčí rukou a musíme vyvinout určitou sílu (směrem dolů), abychom tu kouli udrželi "pod pokličkou". V tuto chvíli se chováme jako ona šibenice pro případ na pravé straně našeho původního obrázku (je jedno zda máme těžkou kovovou kouli na struně, nebo lehký míček na tuhé tyčce, která jej drží pod vodou). 

Vlevo je plovák volně spočívající na hladině, vpravo rukou držíme plovák ponořený - plovákem vytlačený objem vody má za následek nárůst indikované hmotnosti - zde 225g

Jelikož nás nějaká síla tlačí do ruky směrem nahoru (a my ji odoláváme), musí stejná síla - ale opačného směru - tlačit směrem dolů. A protože ta konzerva (na které držíme ruku) stojí na pravé misce vah, které byly původně v rovnováze (byly to shodné konzervy se shodným obsahem), je to přesně ta síla, která nám pravou misku vah stlačí směrem dolů.

Pro fyziky: vztlak koule na pravé straně působí jako neviditelná pružina, která stlačí misku vah dolů

Jiný způsob vysvětlení

Představte si, že sedíte na hospodské židli, nohy máte ve vzduchu a oběma rukama uchopíte sedátko, na kterém sedíte a budete se snažit tahem rukama směrem vzhůru se zvednout. Nezvednete se, jen budete cítit, jak se více přitlačujete k sedátku. To je přesně případ levé misky vah.

Nyní spustíte nohy na podlahu, trochu se předkloníte (kvůli rovnováze), a zkusíte se postavit (pořád držíte pevně oběma rukama sedátko). Docílíte toho, že se židle zvedne. K tomu, aby se tak stalo, museli jste použít oporu mimo tu židli, tj. opřít se o zem. To je přesně případ pravé misky vah.

Stále nevěříme? 

Pokud je to obtížné na představu, nastává vhodná chvíle pro praktický experiment. Máme tu pěkný snímek z YouTube, který celou situaci názorně popisuje:

... a to je celé. Přeji Vám pěkný den, příjemné svátky a zase někdy
"na počtenou"!